谨以此笔记，记录考研的学习

函数

基本定义

函数具有一对一，多对一的性质，但是不能是一对多，即：一个确定的 x 不能有多个 y 值与之对应。

反函数

从图像上来看，把所有点交换 \(x\) 与 \(y\) 的坐标值即得到对应反函数曲线，并且反函数和原函数关于 \(y=x\) 对称。

  • 严格单调的函数一定有反函数。
  • \(y=f(x)\) 与 \(x=f^{-1}(y)\) 完全一致，只有在后面表达式中交换 \(x\) 和 \(y\) 才得到反函数，即 \(y=f^{-1}(x)\)。
  • 有反函数的不一定是单调函数，也可以是分段函数。

复合函数

就是把外面函数的自变量用一个函数去替代。

如：

  • \(f(x)=x^2+x\)，那么 \(f(g(x))=(g(x))^2+g(x)\)

复合函数求导需要先把 \(g(x)\) 当成自变量先求一次导，再乘上 \(g(x)\) 的导数。

有界性

有界一定要指明区间。

若能找到一个数使得 \(|f(x)|\le M\) 则有界。

或者说，若在区间内，某点的极限算出来是无穷大，那么无界，否则有界。

单调性

通俗的讲，沿着 \(x\) 增加的方向，\(y\) 也增加就是单调增，否则是单调减。

用数学语言描述是：

  • 若任意取 \(x_0,x_1\) 存在 \((x_1-x_0)(f(x_1)-f(x_0))>0\) 那么单调递增。
  • 若任意取 \(x_0,x_1\) 存在 \((x_1-x_0)(f(x_1)-f(x_0))<0\) 那么单调递减。

不递增不递减就是在递减递增的情况下加上 \(=0\) 的状况。

奇偶性

谈论奇偶性一定要定义域对称。

即对于定义域 \(D\)，任意 \(x\in D\) 则一定有 \(-x\in D\) 。

奇函数

满足 \(f(x)=-f(-x)\)。

关于原点对称

若定义域存在0，则一定经过原点

偶函数

满足 \(f(x)=f(-x)\)。

关于 \(y\) 轴对称

若定义域存在0，则 \(f'(x)=0\)

出题可能会稍微平移，比如说关于 \(x=T\) 对称，此时可以换元法让它重新变成一个偶函数。

周期性

存在一个数 \(T\) 使得 \(f(x)=f(x+T)\) 那么这个函数是周期为 \(T\) 的函数。

这里有个重要结论就是，取任意连续周期长度的积分是相同的。

\(\int_{a}^{a+T}f(x)\) 永远相等。

结论

  • 可导函数求导之后，奇偶性会互换。
  • 可导周期函数求导之后仍是周期函数，周期不变。
  • 可积奇函数的原函数是偶函数。
  • 可积偶函数的一个原函数是奇函数。因为积分要加上一个常数，因此不一定经过零点，但是经过零点的那个一定是奇函数，而偶函数无所谓，因为都关于 \(y\) 对称
  • 对于周期函数来说，一定要满足 \(\int _0^T f(x)=0\) 才能保证原函数一定也是周期函数。
  • 若 \(f(x)\) 在某个区间可导且导函数有界，那么 \(f(x)\) 一定有界。通俗来讲就是，变化率有界，那么在有限区间内函数一定也有界。